変位ひずみ関係式と一般化されたフックの法則の導出

材料力学

こんてんつ

  • 変位-ひずみ関係式の定義
  • 応力-ひずみ関係式（一般化されたフックの法則/一般化Hook則）の導出

まず結論

変位-ひずみ関係式

\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \\ && \varepsilon_{33} = \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}} \\ && \gamma_{12} = \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} \\ && \gamma_{23} = \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} \\ && \gamma_{31} = \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}} + \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}} \\ \end{eqnarray}

応力-ひずみ関係式（一般化されたフックの法則）

\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{22} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{33} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{33} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \} \\ && \gamma_{12} = \frac{1}{G} \sigma_{12} \\ && \gamma_{23} = \frac{1}{G} \sigma_{23} \\ && \gamma_{13} = \frac{1}{G} \sigma_{13} \\ \end{eqnarray}

各種文字

  • 変位u_{i}
  • 垂直ひずみ\varepsilon _ {ii}
  • せん断ひずみ\varepsilon _ {ij}
  • ポアソン比\nu
  • 縦弾性係数（ヤング率）E
  • 横弾性係数G
  • 垂直応力\sigma _ {ii}
  • せん断応力\sigma _ {ij}

変位-ひずみ関係式の定義

ひずみ\varepsilon _ {ij}とは、単位長さ当たりの変位量u_{i}もしくは変位角のことである。

垂直ひずみ\varepsilon _ {ii}

微小物体をx _ {1}方向に\sigma _ {11}の力で引っ張ったとする。この時、物体に変位u _ {1}が現れるとする。これを、偏微分を用いて単位長さ当たりの変位量としたものが垂直ひずみ\varepsilon _ {ii}である。元長さに対する変位量の比率を考えれば、

\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon _ {11} &=& \frac{\mbox{変位量}}{\mbox{元長さ}} \\ &=& \frac{\Delta u_1}{\Delta x_1 } \xrightarrow{\Delta x_1 \to 0} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} \end{eqnarray}

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同様にして次の３つの式を得る。

\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \\ && \varepsilon_{33} = \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}} \\ \end{eqnarray}

せん断ひずみ\gamma _ {ij}

微小物体を下図の様に\sigma _ {12}、\sigma _ {21}の力で変形させたとする。この時、物体に変位角\theta _ {1} + \theta _ {2}が現れるとする。これを、偏微分を用いて表したものがせん断ひずみ\gamma _ {ij}であり、特に工学的せん断ひずみと呼ばれる。

\displaystyle \begin{eqnarray} \gamma_{12} &=& \theta_1 + \theta _2 \\ &\fallingdotseq& \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \\ &=& \frac{\Delta u_2}{\Delta x_1} + \frac{\Delta u_1}{\Delta x_2} \xrightarrow{\Delta x_1, \Delta x_2 \to 0} \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} \end{eqnarray}

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同様にして、次の３つの式を得る。

\displaystyle \begin{eqnarray} && \gamma_{12} = \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} \\ && \gamma_{23} = \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} \\ && \gamma_{31} = \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}} + \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}} \\ \end{eqnarray}

一般化されたフックの法則の導出

通常のフックの法則

垂直応力と垂直ひずみの間、せん断応力とせん断ひずみの間には次の関係がある。

\displaystyle \begin{eqnarray} \sigma = E \varepsilon \\ \tau = G \gamma \end{eqnarray}

ポアソン比\nuと横弾性係数G

ポアソン比とは、「引っ張って伸ばすと、その分縮む」という「ポアソン効果」がどれだけ生じるかを示した数値のことである。縦方向のひずみと、横方向のひずみの比率にマイナスを掛けた値で定義される。

\displaystyle \begin{eqnarray} \nu_{12} = -\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} \end{eqnarray}

等方性材料の場合、どこに向かって引っ張っても同じなので次のようになる。

\displaystyle \begin{eqnarray} \nu = \nu_{12} = \nu_{23} = \nu_{31} \end{eqnarray}

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ここで、縦弾性係数Eと横弾性係数Gの間には、ポアソン比\nuを用いて次の関係がある。

\displaystyle \begin{eqnarray} G=\frac{E}{2(1+\nu)} \end{eqnarray}

一般化されたフックの法則

一般化されたフックの法則は、異なる軸に対する引っ張りの影響を、ポアソン効果も含めて定式化したものである。ここでは、1つの軸iに対する引っ張りのひずみを\varepsilon^{ (ii) }と表し、最終的に全てを足し合わせ\varepsilon = \varepsilon^{ (11) } + \varepsilon^{ (22) } + \varepsilon^{ (33) }とする作戦で、定義を導く。

例えば微小物体を\sigma _ {11}の力で引っ張ることを考える。フックの法則に従えばx _ {1}方向に \varepsilon _ {1} ^{(11)}のひずみ（伸び）を生じる。それと同時にx _ {2}方向、x _ {3}方向に、ポアソン比に応じたひずみ（縮み）\varepsilon_2 ^{(11)} = \varepsilon_3 ^{(11)} = -\nu \varepsilon_1 ^{(11)}が生じる。

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この時、\sigma _ {22}、\sigma _ {33}を同時に与えることを考えて、次にまとめてみよう。

  • \sigma _ {11}の力を掛けた場合、x _ 1方向に \varepsilon _ {1} ^{(11)}のひずみ。x _ {2}, x _ {3}方向にポアソン比に応じたひずみ -\nu \varepsilon_1 ^{(11)}が生じる。
  • \sigma _ {22}の力を掛けた場合、x _ 2方向に \varepsilon _ {2} ^{(22)}のひずみ。x _ {1}, x _ {3}方向にポアソン比に応じたひずみ -\nu \varepsilon_2 ^{(22)}が生じる。
  • \sigma _ {33}の力を掛けた場合、x _ 3方向に \varepsilon _ {3} ^{(33)}のひずみ。x _ {1}, x _ {2}方向にポアソン比に応じたひずみ -\nu \varepsilon_3 ^{(33)}が生じる。

ここから、すべての力が同時に作用した場合、x _ {1}方向には \varepsilon _ {1} ^{(11)}と -\nu \varepsilon_2 ^{(22)}と -\nu \varepsilon_3 ^{(33)}のひずみが生じる。したがって、最終的にx _ {1}方向に生じるひずみ \varepsilon _ {1}は、

\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon _ {1} = \varepsilon _ {1} ^{(11)} -\nu \varepsilon_2 ^{(22)} -\nu \varepsilon_3 ^{(33)} \end{eqnarray}

である。ここで、通常のフックの法則より、

\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon _ {1} &=& \frac{\sigma_{11}}{E} -\nu \frac{\sigma_{22}}{E} -\nu \frac{\sigma_{33}}{E} \\ &=& \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \end{eqnarray}

を得る。これが一般化したフックの法則である。他の方向のひずみについても同様に書くと、

\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon _ {1} &=& \varepsilon _ {1} ^{(11)} -\nu \varepsilon_2 ^{(22)} -\nu \varepsilon_3 ^{(33)} \\ \varepsilon _ {2} &=& -\nu \varepsilon _ {1} ^{(11)} + \varepsilon_2 ^{(22)} -\nu \varepsilon_3 ^{(33)} \\ \varepsilon _ {3} &=& -\nu \varepsilon _ {1} ^{(11)} -\nu \varepsilon_2 ^{(22)} + \varepsilon_3 ^{(33)} \end{eqnarray}

であり、

\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon _ {1} &=& \frac{\sigma_{11}}{E} -\nu \frac{\sigma_{22}}{E} -\nu \frac{\sigma_{33}}{E} \\ \varepsilon _ {2} &=& -\nu \frac{\sigma_{11}}{E} + \frac{\sigma_{22}}{E} -\nu \frac{\sigma_{33}}{E} \\ \varepsilon _ {3} &=& -\nu \frac{\sigma_{11}}{E} -\nu \frac{\sigma_{22}}{E} + \frac{\sigma_{33}}{E} \end{eqnarray}

であるから、次の公式が得られる。

\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{22} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{33} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{33} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \} \\ && \gamma_{12} = \frac{1}{G} \sigma_{12} \\ && \gamma_{23} = \frac{1}{G} \sigma_{23} \\ && \gamma_{13} = \frac{1}{G} \sigma_{13} \\ \end{eqnarray}

となる。ここで、せん断方向の変形については体積変化が生じないため、通常のフックの法則がそのまま利用できる。