3点曲げ試験のたわみ計算式の導出

材料力学

こんてんつ

3点曲げ試験のたわみ計算式を導出する。

導出

f:id:norunblog:20220220122255p:plain

問題の図

図の様に座標軸を取る。支点間の長さをLとし、中心の圧子部分にPの力を加える。本来であれば、中心位置（L/2）を境に2つの切断面を考えなければならないが、今回の問題は左右対称となることが想定されるため0 \leq x \leq L/2の範囲で考える。

自由体図

梁の部分のみの自由体図である。支点の部分に働く反力P/2を書き込む。

切断図

位置xの場所に仮想切断面を取る。仮想切断面においては反力R _ y ( =P/2)と、半モーメントMが働く。

モーメントのつり合い

右端（x=x）におけるモーメントのつり合い式を考える。時計回りのモーメントのつり合いより、

\displaystyle (P/2) \cdot x - M = 0

よって、

\displaystyle M = \frac{Px}{2}

梁のたわみの微分方程式

梁のたわみの微分方程式より、

\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{M}{EI} = -\frac{Px}{2EI}

これを一回積分し、

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{Px^2}{4EI} + C_1

x = L/2は対称面ゆえ、たわみ角0（ \theta = dy/dx = 0）より、

\displaystyle \begin{eqnarray} && 0 = -\frac{P}{4EI} \left(\frac{L}{2} \right)^2 + C_1\\ &&\therefore C_1 = \frac{PL^2}{16EI} \end{eqnarray}

もう一回積分し、

\displaystyle y = -\frac{Px^3}{12EI} +\frac{PL^2x}{16EI} + C_2

x = 0では y = 0より、

\displaystyle \begin{eqnarray} && 0 = C_2\\ &&\therefore C_2 = 0 \end{eqnarray}

以上より、たわみの計算式は、

\displaystyle y = -\frac{Px^3}{12EI} +\frac{PL^2x}{16EI}

となる。

中心位置でのたわみ

中心位置（x = L/2）でのたわみの大きさは、

\displaystyle \begin{eqnarray} y|_{x=\frac{L}{2}} &=& -\frac{P}{12EI} \left( \frac{L}{2} \right)^3 +\frac{PL^2}{16EI} \left( \frac{L}{2} \right) \\ &=& \frac{PL^3}{48EI} \end{eqnarray}