こんてんつ

一般化されたフックの法則を応力成分について解く。次の2通りで導出を実施する。

導出1（式変形による導出）
導出2（行列の逆変換による導出）

結論

各種成分について

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \sigma_{11} = 2G \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \right\} \\ && \sigma_{22} = 2G \left\{ \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \right\} \\ && \sigma_{33} = 2G \left\{ \varepsilon_{33} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \right\} \\ && \sigma_{12} = G \gamma_{12} = 2G \varepsilon_{12} \\ && \sigma_{23} = G \gamma_{23} = 2G \varepsilon_{23} \\ && \sigma_{13} = G \gamma_{13} = 2G \varepsilon_{13} \\ \end{eqnarray}$

総和規約による表記

$\displaystyle \begin{eqnarray} \sigma_{ij} = 2G \left\{ \varepsilon_{ij} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \delta_{ij} \right\} \end{eqnarray}$

復習

一般化フック則（ひずみ成分に対する表記）

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{22} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{33} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{33} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \} \\ && \gamma_{12} = \frac{1}{G} \sigma_{12} \\ && \gamma_{23} = \frac{1}{G} \sigma_{23} \\ && \gamma_{13} = \frac{1}{G} \sigma_{13} \\ \end{eqnarray}$

参考記事

上記式の導出は、この記事を参考に。 contents-open.hatenablog.com

各種文字

変位 $u_{i}$
垂直ひずみ $\varepsilon _ {ii}$
せん断ひずみ $\varepsilon _ {ij}$
ポアソン比 $\nu$
縦弾性係数（ヤング率） $E$
横弾性係数 $G$
垂直応力 $\sigma _ {ii}$
せん断応力 $\sigma _ {ij}$

導出1（式変形による導出）

ひずみ成分に対する一般化フック則より、

これを全て足し合わせて、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} &=& \frac{1}{E} \{ (\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}) - 2\nu (\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \\ &=& \frac{1-2\nu}{E} (\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}) \end{eqnarray}$

を得る。ここで $\sigma _ {22}+\sigma _ {33}$ を消去するために、 $\varepsilon _ {11}$ に対する式から、次の式を準備する。

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \\ && \Leftrightarrow \sigma_{22} + \sigma_{33} = \frac{\sigma_{11}-E \varepsilon_{11}}{\nu} \end{eqnarray}$

よって、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} &=& \frac{1-2\nu}{E} (\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}) \\ &=& \frac{1-2\nu}{E} \left( \sigma_{11} + \frac{\sigma_{11}-E \varepsilon_{11}}{\nu} \right) \end{eqnarray}$

となり、これを $\sigma_{11}$ について解けば、

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} = \frac{1-2\nu}{E} \left( \sigma_{11} + \frac{\sigma_{11}-E \varepsilon_{11}}{\nu} \right) \\ &&\Leftrightarrow \frac{E}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) = \frac{(1+\nu)\sigma_{11} - E \varepsilon_{11}}{\nu} \\ &&\Leftrightarrow \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) = \frac{(1+\nu)\sigma_{11}}{E} - \varepsilon_{11} \\ &&\Leftrightarrow \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{11} \\ &&\Leftrightarrow \sigma_{11} = \frac{E}{1+\nu} \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \right\} \\ &&\Leftrightarrow \sigma_{11} = 2G \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \right\} \end{eqnarray}$

を得る。他の成分についても同様にして、

を得る。これが、一般化フック則の応力成分に対する表記である。一方、せん断応力に対する成分は、

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \sigma_{12} = G \gamma_{12} = 2G \varepsilon_{12} \\ && \sigma_{23} = G \gamma_{23} = 2G \varepsilon_{23} \\ && \sigma_{13} = G \gamma_{13} = 2G \varepsilon_{13} \\ \end{eqnarray}$

である。以上を、総和規約に従って書き表すと、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \sigma_{ij} = 2G \left\{ \varepsilon_{ij} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} ) \delta_{ij} \right\} \end{eqnarray}$

導出2（行列の逆変換による導出）

コンプライアンス行列の作成

ひずみ成分に対する一般化フック則を行列成分で書くことを考える。

より

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \end{matrix} \right\} &=& \begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} &-\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} &-\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G} \\ \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \end{matrix} \right\} \end{eqnarray}$

となるが、行列を次のように書き換える。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \end{matrix} \right\} &=& \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\ S_{21} & S_{22} & S_{23} & 0 & 0 & 0 \\ S_{31} & S_{32} & S_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & S_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & S_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & S_{66} \\ \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \end{matrix} \right\} \end{eqnarray}$

直接表現で略記すると、

$\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{\sigma}$

である。この $\boldsymbol{S}$ をコンプライアンス行列と言う。

弾性係数行列への逆変換

コンプライアンス行列を逆変換して、応力成分表記にすることを考える。

$\displaystyle \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{S^{-1}} \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{D} \boldsymbol{\varepsilon}$

この $\boldsymbol{D}$ を弾性係数行列と呼ぶ。 $\boldsymbol{D}$ は $\boldsymbol{S}$ の逆行列なので、 $\boldsymbol{S^{-1}}$ を計算すると次のようになる。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{D} &=& \begin{bmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{13} & 0 & 0 & 0 \\ D_{21} & D_{22} & D_{23} & 0 & 0 & 0 \\ D_{31} & D_{32} & D_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & D_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & D_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & D_{66} \\ \end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix} \frac{S_{22}S_{33}-S_{23}S_{32}}{S} & \frac{S_{13}S_{32}-S_{12}S_{33}}{S} & \frac{S_{12}S_{23}-S_{13}S_{22}}{S} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{S_{23}S_{31}-S_{21}S_{33}}{S} & \frac{S_{11}S_{33}-S_{13}S_{31}}{S} & \frac{S_{13}S_{21}-S_{11}S_{23}}{S} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{S_{21}S_{32}-S_{22}S_{31}}{S} & \frac{S_{12}S_{31}-S_{11}S_{32}}{S} & \frac{S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}}{S} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{S_{44}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{S_{55}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{S_{66}} \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

ここで $S$ は次のように定義する。

$\displaystyle S = S_{11}S_{22}S_{33}-S_{11}S_{23}S_{32}+S_{12}S_{23}S_{31}-S_{12}S_{21}S_{33}+S_{13}S_{21}S_{32}-S_{13}S_{22}S_{31}$

例えばここで、 $D _ {11}$ 成分について求めてみよう。 $S _ {ij}$ の各成分はコンプライアンス行列にて定義されているので、

$\displaystyle \begin{eqnarray} D_{11} &=& \frac{S_{22}S_{33}-S_{23}S_{32}}{S} \\ &=& \frac{(1/E)(1/E)-(-\nu/E)(-\nu/E)}{S} \\ &=& \frac{ 1-\nu^2 / E^2 }{ 1 - 3\nu^2 - 2\nu^3 / E^3 } \\ &=& \frac{ (1+\nu)(1-\nu)E }{ (1+\nu)^2(1-2\nu) } \\ &=& \frac{ (1-\nu)E }{ (1+\nu)(1-2\nu) } \end{eqnarray}$

の様に求めることが出来る。但し、 $S$ は次のように計算した。

$\displaystyle \begin{eqnarray} S &=& S_{11}S_{22}S_{33}-S_{11}S_{23}S_{32}+S_{12}S_{23}S_{31}-S_{12}S_{21}S_{33}+S_{13}S_{21}S_{32}-S_{13}S_{22}S_{31}\\ &=& \frac{1 - 3\nu^2 - 2\nu^3}{E^3} \end{eqnarray}$

同様にして、他の成分についても求めると弾性係数行列は次のように書ける。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{D} &=& \frac{ (1-\nu)E }{ (1+\nu)(1-2\nu) } \begin{bmatrix} 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

応力成分表記の一般化フック則の導出

さて、直接表現の応力成分表記の一般化フック則より、

$\displaystyle \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{D} \boldsymbol{\varepsilon}$

であった。これを再度行列を用いて書き下すと次の様になる。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{matrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \end{matrix} \right\} &=& \frac{ (1-\nu)E }{ (1+\nu)(1-2\nu) } \begin{bmatrix} 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \\ \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \end{matrix} \right\} \end{eqnarray}$

例えば、 $\sigma_{11}$ 成分について書き下すと、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \sigma_{11} &=& \frac{ (1-\nu)E }{ (1+\nu)(1-2\nu) } \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-\nu} \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1-\nu} \varepsilon_{33} \right\} \\ &=& \frac{ 2G(1-\nu) }{ 1-2\nu } \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-\nu} \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1-\nu} \varepsilon_{33} \right\} \\ &=& 2G \left\{ \frac{1-\nu}{1-2\nu}\varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1-2\nu} \varepsilon_{33} \right\} \\ &=& 2G \left\{ \frac{(1-2\nu)+\nu}{1-2\nu}\varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1-2\nu} \varepsilon_{33} \right\} \\ &=& 2G \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1-2\nu} \varepsilon_{33} \right\}\\ &=& 2G \left\{ \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1-2\nu} (\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}) \right\} \end{eqnarray}$

となり、一般化フック則の応力成分に対する表記が得られる。他の成分に対しても同様の操作をすればよい。