こんてんつ

平面応力状態と平面ひずみ状態（平面応力問題、平面ひずみ問題などとも言う）について、図を用いた意味の説明とその状態におけるフックの法則を導く。

平面応力状態、平面ひずみ状態とは
各状態における一般化フック則
コンプライアンス行列と弾性係数行列

平面応力状態、平面ひずみ状態とは

全体感

3次元形状の物体に生じる応力成分を実際に計算するのは困難である。そこで、次の様な仮定を用いて三次元空間の問題を二次元空間に近似する考え方である。

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平面応力状態の仮定

上の図の様に、厚さが薄い板を考える。面に平行な方向（ $x _ {1}$ 、 $x _ {2}$ 軸方向）のみに荷重が作用しているものとする。この時、厚さが極めて薄ければ $x _ {3}$ 軸方向の応力は無視できるほど小さいと仮定できる。それゆえ、 $\sigma _ {33} = \sigma _ {31} = \sigma _ {32} = 0$ となる。図の様な梁の問題では、幅 $b$ が長さ $l$ に比べて極めて小さく（薄く）、この仮定が使える。

平面ひずみ状態の仮定

上の図の様に、厚さが十分に厚い板を考える。面に平行な方向（ $x _ {1}$ 、 $x _ {2}$ 軸方向）のみに荷重が作用しているものとする。この時、 $x _ {3}$ 軸方向に対しては、物体が無限に長いので伸び縮みしないと仮定できる。それゆえ、 $\varepsilon _ {33} = \varepsilon _ {31} = \varepsilon _ {32} = 0$ となる。図の様に、幅 $b$ が長さ $l$ に比べて無限に長いと考えられる物体に対して、この仮定が使える。

各状態における一般化フック則

通常の一般化フック則

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平面応力状態

$\sigma _ {33} = \sigma _ {31} = \sigma _ {32} = 0$ を考えて、平面応力状態での一般化フック則は次のようになる。

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu \sigma_{22} \} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{22} - \nu \sigma_{11} \} \\ && \varepsilon_{33} = - \frac{\nu}{E} (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \\ && \gamma_{12} = \frac{1}{G} \sigma_{12} \\ && \gamma_{23} = 0 \\ && \gamma_{13} = 0 \\ \end{eqnarray}$

$\varepsilon _ {33}$ に関する式を考察してみよう。この式は、「 $(\sigma _ {11} + \sigma _ {22})$ の面に平行な力を作用させると、 $x _ {3}$ 方向に縮む」ということを示している。

平面ひずみ状態

$\varepsilon _ {33} = \varepsilon _ {31} = \varepsilon _ {32} = 0$ を考えて、平面ひずみ状態での一般化フック則は次のようになる。

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{11} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{22} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{22} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{33}) \} \\ && \varepsilon_{33} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{33} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \} = 0 \\ && \gamma_{12} = \frac{1}{G} \sigma_{12} \\ && \gamma_{23} = 2 \varepsilon _ {23} =0\\ && \gamma_{13} = 2 \varepsilon _ {13} =0\\ \end{eqnarray}$

$\varepsilon _ {33}$ に関する式を考察してみよう。この式を次の通り式変形する。

$\displaystyle \begin{eqnarray} && \varepsilon_{33} = \frac{1}{E} \{ \sigma_{33} - \nu (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \} = 0 \\ && \sigma_{33} = \nu (\sigma_{11} + \sigma_{22}) \end{eqnarray}$

これは、「 $(\sigma _ {11} + \sigma _ {22})$ の面に平行な力を作用させると、本来であれば縮むが、平面ひずみ状態によって縮むことを拘束されてしまい、その結果引っ張り応力 $\sigma _ {33}$ が発生する」ということを示している。

コンプライアンス行列と弾性係数行列

一般化フック則（ $\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{\sigma}$ ）は次のように縮退化する。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \gamma_{12} \\ \end{matrix} \right\} &=& \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & 0 \\ S_{21} & S_{22} & 0 \\ 0 & 0 & S_{66} \\ \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \\ \end{matrix} \right\} \end{eqnarray}$

コンプライアンス行列 $\boldsymbol{S}$ と弾性係数行列 $\boldsymbol{D}$ は、次のようになる。

平面応力状態

$\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{S} &=& \begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 \\ & \frac{1}{E} & 0 \\ \mathrm{sym} & & \frac{1}{G} \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

$\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{D} &=& \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ & 1 & 0 \\ \mathrm{sym} & & \frac{1-\nu}{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{E}{1-\nu^2} & \frac{\nu E}{1-\nu^2} & 0 \\ & \frac{E}{1-\nu^2} & 0 \\ \mathrm{sym} & & G \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

平面ひずみ状態

$\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{S} &=& \begin{bmatrix} \frac{(1-\nu)(1+\nu)}{E} & -\frac{\nu(1+\nu)}{E} & 0 \\ & \frac{(1-\nu)(1+\nu)}{E} & 0 \\ \mathrm{sym} & & \frac{1}{G} \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

$\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{D} &=& \frac{E(1-\nu)}{(1-2\nu)(1+\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 \\ & 1 & 0 \\ \mathrm{sym} & & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \\ \end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix} \frac{E(1-\nu)}{(1-2\nu)(1+\nu)} & \frac{\nu E}{(1-2\nu)(1+\nu)} & 0 \\ & \frac{E(1-\nu)}{(1-2\nu)(1+\nu)} & 0 \\ \mathrm{sym} & & G \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray}$