変形勾配テンソルFの導出

連続体力学

こんてんつ

連続体力学を学ぶ上で重要な、変形勾配テンソルを導出する。

変形を論じる上で重要な4つの言葉の定義

変形勾配テンソルを導出する上で、変形を数式によって記述するが、その際に重要な4つの言葉を次に定義する。

時刻によって、二つの配置を定義する。

  • 基準配置B _ 0：例えば時刻t=0などの、基準とする初期の状態のこと。
  • 現在配置B _ t：例えば時刻tなどにおける、連続体が変形した状態のこと。

変形体に沿って観測するか、絶対座標で観測するかとして、二つのベクトルを定義する。

  • 物質点\boldsymbol{X}：現在配置において、連続体を構成するすべて場所に対して一意に設定される点。一意に設定されるラベルという風に表現されることが多く、変形とは物質点同士の位置関係の変化である。
  • 空間位置\boldsymbol{x}：変形体を傍から見た場合の位置のこと。現在配置でも基準配置でも、同じ軸を利用する。

時刻t=0の基準配置B _ 0では、物質点と空間位置は同じであるが（\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}）、変形が起こった後の現在配置B _ tでは\boldsymbol{X} \neq \boldsymbol{x}であることに注意する。

運動の定義

時刻tにおける、物質点\boldsymbol{X}の空間位置\boldsymbol{x}を次のように定義する。

\displaystyle \boldsymbol{x} = \phi (\boldsymbol{X},t)

この関数 \phi (\boldsymbol{X},t)は、物質点\boldsymbol{X}の時々刻々とした位置を記述できることから「運動（motion）」などと呼ばれる。

変位勾配テンソルの導出

図の様に、基準配置B _ 0における物質点とその隣り合う物質点間のベクトルを\Delta \boldsymbol{X}として定義する。この時、変形前のため「\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}」であることに注意する。これが、変形を経て現在配置B _ tでは\Delta \boldsymbol{x}に変化したと考えよう。これは、次のように考えることが出来る。

  • 物質点\boldsymbol{X}が時刻tで変形を経て、空間位置\boldsymbol{x}へ。
  • \boldsymbol{x} = \phi (\boldsymbol{X},t)
  • 物質点\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X}が時刻tで変形を経て、空間位置\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}へ。
  • \boldsymbol{x} + \Delta \boldsymbol{x} = \phi (\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X},t)

これを用いて、現在配置B _ tにおける位置の差 \Delta \boldsymbol{x}は、

\displaystyle \begin{eqnarray} \Delta \boldsymbol{x} &=& \phi (\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X},t) - \boldsymbol{x} \\ &=& \phi (\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X},t) -\phi (\boldsymbol{X},t) \end{eqnarray}

である。ここで、\phi (\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X},t)の\boldsymbol{X}周りのテイラー展開を考えて、

\displaystyle \begin{eqnarray} \phi (\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X},t) &=& \phi (\boldsymbol{X},t) + \frac{\partial\phi (\boldsymbol{X},t)}{\partial\boldsymbol{X}} \Delta \boldsymbol{X} + \frac{\partial^2\phi (\boldsymbol{X},t)}{\partial\boldsymbol{X}^2} \frac{(\Delta \boldsymbol{X})^2}{2!} \\ &\simeq& \phi (\boldsymbol{X},t) + \frac{\partial\phi (\boldsymbol{X},t)}{\partial\boldsymbol{X}} \Delta \boldsymbol{X} \end{eqnarray}

となる。参考までに、f(x)のx _ 0周りのテイラー展開は、

\displaystyle f(x) = f(x_0) + f' (x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!} f'' (x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!} f''' (x_0)(x-x_0)^3 + \cdots

である。以上より、

\displaystyle \begin{eqnarray} \Delta \boldsymbol{x} &=& \phi (\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X},t) - \phi (\boldsymbol{X},t) \\ &=& \frac{\partial\phi (\boldsymbol{X},t)}{\partial\boldsymbol{X}} \Delta \boldsymbol{X} \end{eqnarray}

を得る。これより、||\Delta \boldsymbol{x}|| \rightarrow 0の極限を考えて、

\displaystyle \begin{eqnarray} d \boldsymbol{x} &=& \frac{\partial\phi (\boldsymbol{X},t)}{\partial\boldsymbol{X}} d \boldsymbol{X} \\ &=& \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X},t) d\boldsymbol{X} \end{eqnarray}

と書き、

\displaystyle \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X},t) = \frac{\partial\phi (\boldsymbol{X},t)}{\partial\boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X},t) }{\partial\boldsymbol{X}}

を変形勾配テンソルと呼ぶ。改めて一つ前の式は、「物質点\boldsymbol{X}近傍の微分ベクトルd\boldsymbol{X}が\boldsymbol{F}によって変換されてd\boldsymbol{x}になる」ことを表している。この\boldsymbol{F}は物質点\boldsymbol{X}と時刻tを変数に含み、「任意の物質点・任意の時刻における変形の様子を定量的に表す」ことが出来る。