ベクトル・テンソルの、内積・テンソル積の様々な表記

連続体力学 数学

こんてんつ

今回は、連続体力学で利用する、

について、次の様々な表記方法について整理する。

  • 数ベクトル、行列による表記
  • 直交基底による表記
  • 総和規約に基づく指標表記

参考記事

ベクトル、テンソルそのものについては、下記のページを参考。 contents-open.hatenablog.com

ベクトルの内積

数ベクトルによる表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} &=& \{u\}^{T} \{v\} \\ &=& \begin{Bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{Bmatrix} \end{eqnarray}

直交基底による表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} =&& (u_1 \boldsymbol{e}_1 + u_2 \boldsymbol{e}_2 + u_3 \boldsymbol{e}_3) \cdot (v_1 \boldsymbol{e}_1 + v_2 \boldsymbol{e}_2 + v_3 \boldsymbol{e}_3) \\ =&& u_1 v_1 (\boldsymbol{e}_1 \cdot \boldsymbol{e}_1) + u_1 v_2 (\boldsymbol{e}_1 \cdot \boldsymbol{e}_2) + u_1 v_3 (\boldsymbol{e}_1 \cdot \boldsymbol{e}_3) \\ && \; +u_2 v_1 (\boldsymbol{e}_2 \cdot \boldsymbol{e}_1) + u_2 v_2 (\boldsymbol{e}_2 \cdot \boldsymbol{e}_2) + u_2 v_3 (\boldsymbol{e}_2 \cdot \boldsymbol{e}_3) \\ && \; \; +u_3 v_1 (\boldsymbol{e}_3 \cdot \boldsymbol{e}_1) + u_3 v_2 (\boldsymbol{e}_3 \cdot \boldsymbol{e}_2) + u_3 v_3 (\boldsymbol{e}_3 \cdot \boldsymbol{e}_3) \\ =&& u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \end{eqnarray}

直交基底と総和規約を組み合わせた表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} &=& (u_i \boldsymbol{e}_i) \cdot (u_j \boldsymbol{e}_j)\\ &=& u_i v_j (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j)\\ &=& u_i v_i \end{eqnarray}

総和規約に基づく指標表記

\displaystyle \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} \rightarrow u_i v_i

ベクトルのテンソル積

数ベクトル、行列による表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{u} \otimes \boldsymbol{v} &=& \{u\} \{v\}^{T} \\ &=& \begin{Bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{Bmatrix} \\ &=& \begin{Bmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \end{Bmatrix} \\ \end{eqnarray}

直交基底による表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{u} \otimes \boldsymbol{v} =&& (u_1 \boldsymbol{e}_1 + u_2 \boldsymbol{e}_2 + u_3 \boldsymbol{e}_3) \otimes (v_1 \boldsymbol{e}_1 + v_2 \boldsymbol{e}_2 + v_3 \boldsymbol{e}_3) \\ =&& u_1 v_1 (\boldsymbol{e}_1 \otimes \boldsymbol{e}_1) + u_1 v_2 (\boldsymbol{e}_1 \otimes \boldsymbol{e}_2) + u_1 v_3 (\boldsymbol{e}_1 \otimes \boldsymbol{e}_3) \\ && \; +u_2 v_1 (\boldsymbol{e}_2 \otimes \boldsymbol{e}_1) + u_2 v_2 (\boldsymbol{e}_2 \otimes \boldsymbol{e}_2) + u_2 v_3 (\boldsymbol{e}_2 \otimes \boldsymbol{e}_3) \\ && \; \; +u_3 v_1 (\boldsymbol{e}_3 \otimes \boldsymbol{e}_1) + u_3 v_2 (\boldsymbol{e}_3 \otimes \boldsymbol{e}_2) + u_3 v_3 (\boldsymbol{e}_3 \otimes \boldsymbol{e}_3) \end{eqnarray}

直交基底と総和規約を組み合わせた表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{u} \otimes \boldsymbol{v} &=& (u_i \boldsymbol{e}_i) \otimes (v_j \boldsymbol{e}_j) \\ &=& u_i v_j (\boldsymbol{e}_i \otimes \boldsymbol{e}_j) \end{eqnarray}

2階テンソルの内積

行列による表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{A} \colon \boldsymbol{B} &=& \begin{Bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\ \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \\ \end{Bmatrix} \\ &=& \begin{Bmatrix} A_{11}B_{11}+ A_{12}B_{21} + A_{13}B_{31} & A_{11}B_{12}+ A_{12}B_{22} + A_{13}B_{32} & A_{11}B_{13}+ A_{12}B_{23} + A_{13}B_{33} \\ A_{21}B_{11}+ A_{22}B_{21} + A_{23}B_{31} & A_{21}B_{12}+ A_{22}B_{22} + A_{23}B_{32} & A_{21}B_{13}+ A_{22}B_{23} + A_{23}B_{33} \\ A_{31}B_{11}+ A_{32}B_{21} + A_{33}B_{31} & A_{31}B_{12}+ A_{32}B_{22} + A_{33}B_{32} & A_{31}B_{13}+ A_{32}B_{23} + A_{33}B_{33} \\ \end{Bmatrix} \end{eqnarray}

直交基底と総和規約を組み合わせた表記

\displaystyle \begin{eqnarray} \boldsymbol{A} \colon \boldsymbol{B} &=& [A_{ij}(\boldsymbol{e}_i \otimes \boldsymbol{e}_j) ] \colon [B_{kl}(\boldsymbol{e}_k \otimes \boldsymbol{e}_l) ] \\ &=& A_{ij} B_{kl} [ (\boldsymbol{e}_i \otimes \boldsymbol{e}_j) \colon (\boldsymbol{e}_k \otimes \boldsymbol{e}_l) ] \\ &=& A_{ij} B_{kl} [ (\boldsymbol{e}_j \cdot \boldsymbol{e}_k) (\boldsymbol{e}_i \otimes \boldsymbol{e}_l) ] \\ &=& A_{ij} B_{jl} (\boldsymbol{e}_i \otimes \boldsymbol{e}_l) \end{eqnarray}

総和規約に基づく指標表記

\displaystyle \boldsymbol{A} \colon \boldsymbol{B} \rightarrow A_{ij} B_{ij}