こんてんつ

独立性の $\chi ^ {2}$ 検定についてやり方を紹介する。

分割表の読み方と期待度数、理論度数、 $\chi ^ 2$ 統計量

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次の帰無仮説を考える。

帰無仮説 $H_0$ ：AとBが完全に独立。（すべての $i$ 、 $j$ に対し、 $P(A_i \bigcap B_j) = P(A_i )P(B_j)$ が成立。）

ここで、相対度数（ $f_{ij}/n$ ）によって推定される次の推定値をもって、

$\displaystyle \hat{p}_{i \cdot} = f_{i \cdot}/n , \qquad \hat{p}_{\cdot j} = f_{\cdot j}/n$

全てが独立という帰無仮説 $H_0$ の下で理論度数は、

$\displaystyle E_{ij} = n \hat{p}_{i \cdot} \hat{p}_{\cdot j}$

となる。これから、独立性の $\chi ^ 2$ 検定の基準

$\displaystyle \chi^2 = \sum \frac{(\mbox{観測度数 - 理論度数})^2}{\mbox{理論度数}}$

を得る。理論度数が分母に来るのは、突拍子もない変な観測度数が分母に来るのを防ぐためと考えても良い。 $\chi ^ 2$ 統計量は、自由度 $(r-1)(c-1)$ の $\chi ^ 2$ 分布に従う。