こんてんつ

二つの正規母集団の母平均の差の検定について述べる。

母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ が既知か？等しいか？否か？

母平均の差の検定は、検定する二つの母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ の情報によってやり方が異なる。

二つの母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ が既知の時。
二つの母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ は未知であるが、等しい時（ $\sigma _ 1 ^ 2 = \sigma _ 2 ^ 2 = \sigma ^ 2$ ）。
二つの母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ は未知であり、等しいとは限らない時（ $\sigma _ 1 ^ 2 \neq \sigma _ 2 ^ 2$ ）。

母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ が既知の時

二つの母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ が既知の時は、

標本平均 $\overline{X}$ の分布は $N(\mu _ 1, \sigma _ 1 ^ 2 / m)$ に従う。
標本平均 $\overline{Y}$ の分布は $N(\mu _ 2, \sigma _ 2 ^ 2 / n)$ に従う。

よって、

$\overline{X}-\overline{Y}$ の分布は $N(\mu _ 1 - \mu _ 2, (\sigma _ 1 ^ 2 / m) + (\sigma _ 2 ^ 2 / n))$ に従う。

よって、これを標準化した

$\displaystyle Z = \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu _ 1 - \mu _ 2)} {\sqrt{ (\sigma _ 1 ^ 2 / m) + (\sigma _ 2 ^ 2 / n) }}$

は、標準正規分布 $N(0,1)$ に従うので、これを用いて推定や検定を行う。

母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ は未知であるが、等しい時

母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ が未知であるが、等しいと分かっている時は、

$\overline{X}-\overline{Y}$ の分布は $N(\mu _ 1 - \mu _ 2, (1/m + 1/n) \sigma ^ 2 )$ に従う。

が、しかし、 $\sigma ^ 2$ が未知であるから、代わりに合併した標本分散 $s ^ 2$ で推定する。これは、

$\displaystyle s^2 = \frac{\sum (X_i - \overline{X})^2 + \sum (Y_i - \overline{Y})^2 }{m+n-2} = \frac{(m-1)s_1^2 +(n-1)s_2^2}{m+n-2}$

である。ここで、標準化した、

$\displaystyle Z = \frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu _ 1 - \mu _ 2)} {\sqrt{ (\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) \sigma^2 }}$

は標準正規分布 $N(0,1 ^ 2)$ に従う。これに対して、標本分散 $s ^ 2$ で代用した2標本t統計量、

$\displaystyle t = \frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu _ 1 - \mu _ 2)} { s \sqrt{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} }}$

は、自由度 $(m+n-2)$ のt分布 $t(m+n-2)$ に従い、これを推定や検定に用いる。

母分散 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ は未知であり、等しいとは限らない時

標本平均 $\overline{X}$ の分布は $N(\mu _ 1, \sigma _ 1 ^ 2 / m)$ に従う。
標本平均 $\overline{Y}$ の分布は $N(\mu _ 2, \sigma _ 2 ^ 2 / n)$ に従う。

よって、

$\overline{X}-\overline{Y}$ の分布は $N(\mu _ 1 - \mu _ 2, (\sigma _ 1 ^ 2 / m) + (\sigma _ 2 ^ 2 / n))$ に従う。

よって、これを標準化した

$\displaystyle Z = \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu _ 1 - \mu _ 2)} {\sqrt{ (\sigma _ 1 ^ 2 / m) + (\sigma _ 2 ^ 2 / n) }}$

は、標準正規分布 $N(0,1 ^ 2)$ に従う。が、しかし、 $\sigma _ 1 ^ 2$ 、 $\sigma _ 2 ^ 2$ が未知であるから、代わりに標本分散 $s _ 1 ^ 2$ 、 $s _ 2 ^ 2$ で推定する。これは、

$\displaystyle t = \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu _ 1 - \mu _ 2)} {\sqrt{ (s _ 1 ^ 2 / m) + (s _ 2 ^ 2 / n) }} \\ s _ 1 ^ 2 = \sum (X_i - \overline{X})^2 / (m-1)　\\ s _ 2 ^ 2 = \sum (Y_i - \overline{Y})^2 / (n-1)$