こんてんつ

母比率 $p$ の検定統計量や、母比率 $p$ の信頼区間については、統計検定2級でも頻出なように良く問われる。しかしながら、なかなか覚えられないのでまとめておく。

覚えるべき結果

それぞれの標本 $X_{i}$ がベルヌーイ分布 $Bi(1,p)$ に従う時、確率変数の和 $S=\sum X_i =X_1+\cdots+X_n$ の分布について、期待値、分散、標準化変数は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &&E(\sum X_i )=np \\ &&V(\sum X_i )=np(1-p) \\ &&Z=\frac{\sum X_{i} - np}{\sqrt{np(1-P)}} = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \end{eqnarray}$

ここで、 $Z$ は母比率が $p$ であることの検定統計量である（東大出版統計学入門P.250）。

これから、中心極限定理により $Z$ は大略正規分布に従うので、

$\begin{eqnarray} &&P \left( -Z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\sum X_{i} - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq +Z_{\frac{\alpha}{2}} \right) \fallingdotseq 1-\alpha \\ &&P \left( -Z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \leq +Z_{\frac{\alpha}{2}} \right) \fallingdotseq 1-\alpha \end{eqnarray}$

信頼区間は、

$\begin{eqnarray} \left[ \hat{p} - Z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} \, , \, \hat{p} + Z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} \right] \end{eqnarray}$

練習問題

問題

あるメーカーからある部品の製作機を仕入れることにした。製作機の不良品率を電話で尋ねたところ、5%という回答であった。この回答が正しいかどうかを確認するため、200個の部品を試作してもらい、実際に不良品率を検査することにした。試作品200個のうち実際に不良品は16個であった。不良品率を $p$ として、帰無仮説を $p=0.05$ 、対立仮説を $p > 0.05$ として検定を行う。 $P_{-}$ 値を計算せよ。