こんてんつ

母比率pの検定と母比率pの差の検定はちょっと違う。両者の違いを比較できるようにメモしておく。

覚えるべき結果

母比率 $p$ の検定

二項分布 $Bi(1,p)$ に従う確率変数 $X_i$ について。
母比率の期待値は $p$ 、母分散は $p(1-p)$ となる。
よって、母比率が $p$ であることの検定統計量 $Z$ は、

$\displaystyle Z= \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}$

母比率の差 $p_A - p_B$ が0であることの検定

二項分布 $Bi(1,p)$ に従う確率変数 $X_A$ 、 $X_B$ の差について。
母比率の差の期待値は $p_A - p_B$ 、母分散は $p_A(1-p_A)$ と $p_B(1-p_B)$ の和になる。
よって、母比率の差 $p_A - p_B$ が0であることの検定統計量は、

$\displaystyle \begin{eqnarray} Z &=& \frac{(\hat{p}_{A}-\hat{p}_{B}) - (p_A - p_B) }{\sqrt{\frac{\hat{p}_{A}(1-\hat{p}_{A})}{n_A}+\frac{\hat{p}_{B}(1-\hat{p}_{B})}{n_B}}} \\ &=& \frac{\hat{p}_{A}-\hat{p}_{B}}{\sqrt{\frac{\hat{p}_{A}(1-\hat{p}_{A})}{n_A}+\frac{\hat{p}_{B}(1-\hat{p}_{B})}{n_B}}} \end{eqnarray}$

練習問題

母比率 $p$ の検定

A社とB社のいずれかのメーカーからある部品の製作機を仕入れることにした。製作機の不良品率を電話で尋ねたところ、A社もB社も5%という回答であった。この回答が正しいかどうかを確認するため、それぞれの機械で200個の部品を試作してもらい、実際に不良品率を検査することにした。A社の試作品200個のうち実際に不良品は16個であった。不良品率を $p$ として、帰無仮説を $p=0.05$ 、対立仮説を $p > 0.05$ として検定を行う。 $P_{-}$ 値を計算せよ。