こんてんつ

※本記事では厳密な一般解の証明までは出来ませんでした。数値的に定理から求められることを検証します。

T字はりの断面2次モーメント $I$ の公式は、

$\displaystyle \begin{eqnarray} && I = \frac{1}{3}\{te_1^3 + be_2^3 - (b-t)(e_2-s)^3\} \\ && e_1= d - \frac{d^2 t + s^2(b-t)}{2(bs+ht)} \\ && e_2= \frac{d^2 t + s^2(b-t)}{2(bs+ht)}\\ \end{eqnarray}$

などとして、与えられることをよく目にする。この式から出てくる値が、平行軸の定理からを利用して求められることについて解説する。

平行軸の定理

断面二次モーメントに関する平行軸の定理

梁曲げのたわみの計算式などでは、最小値となる図芯を通る断面二次モーメント $I_z$ を用いる必要がある。これは、任意の $z^{'}$ 軸周りの断面二次モーメント $I_{z^{'}}$ を求めた後、図芯までの距離の二乗 ${\bar{y}}^2$ に、断面積 $A$ を乗じたものを引くことで求められる。平行軸の定理は次式である。

$\displaystyle I_z = I_{z^{'}} - ({\bar{y}})^2 A$

（参考）高校力学における平行軸の定理

平行軸の定理は、高校物理学のモーメントの章にて登場している。質量 $M$ の剛体の任意の軸のまわりの慣性モーメント $I$ は、その軸と重心の距離を $h$ 、質量中心を通りその軸に平行な軸のまわりの慣性モーメントを $I_G$ とするとき、

$\displaystyle I = I_G + M h^2$

で与えられる。

平行軸の定理を利用したT字梁の断面二次モーメントの導出

次のようなT字梁を設定する。図芯を通る断面二次モーメント $I_z$ は、任意の $z^{'}$ 軸周りの断面二次モーメント $I_{z^{'}}$ から、平行軸の定理により図芯までの距離の二乗 ${\bar{y}}^2$ に、断面積 $A$ を乗じたものを引くことで、

$\displaystyle I_z = I_{z^{'}} - ({\bar{y}})^2 A$

で与えられる。ここで、 $I_{z^{'}}$ は断面二次モーメントの定義によって、

$\displaystyle \begin{eqnarray} I_z &=& \int y^2 dA - ({\bar{y}})^2 A \\ &=& \left( \int_0^s y^2 \cdot b dy + \int_s^d y^2 \cdot t dy \right)- ({\bar{y}})^2 A \end{eqnarray}$

となる。ここで、図芯までの距離 $\bar{y}$ は、断面一次モーメントとも呼ばれ、

$\displaystyle \bar{y} = \frac{\int y dA}{A} = \frac{ \int_0^s y \cdot b dy + \int_s^d y \cdot t dy } {A}$

という形で表すことが出来る。以上より、

$\displaystyle \begin{eqnarray} I_z &=& \left( \int_0^s y^2 \cdot b dy + \int_s^d y^2 \cdot t dy \right)- \left( \frac{ \int_0^s y \cdot b dy + \int_s^d y \cdot t dy } {A} \right) ^2 A \end{eqnarray}$

という形で図芯を通る断面二次モーメント $I_z$ を求めることが出来る。ここで、仮に

$\displaystyle \begin{eqnarray} b &=& 100\\ d &=& 20\\ s &=& 10\\ t &=& 10 \end{eqnarray}$

とすると、

$\displaystyle \begin{eqnarray} I_z &=& \left( 33333.3 + 23333.3 \right)- \left( \frac{ 5000 + 1500 } {1100} \right) ^2 1100 \\ &=& 18257.5 \end{eqnarray}$